Sur la fidélité de certaines représentations de GL${}_2(F)$ sous une algèbre d'Iwasawa

Abstract

Soit $F$ une extension finie de ${\mathbb{Q}}_p$,d'anneau des entiers ${\mathcal{O}}_F$ et $E$ une extension de ${\mathbb{F}}_p$. L'action naturelle de ${\mathcal{O}}_F^{\times }$ sur ${\mathcal{O}}_F$ se prolonge alors en une action continue sur l'alg…bre d'Iwasawa $E[[O_F]];$. Dans ce travail, on d≈montre que les id≈aux non nuls de $E[[{\mathcal{O}}_F]]$ stables par ${\mathcal{O}}_F^{\times }$ sont ouverts. En particulier, on d≈duit la fid≈lit≈ de l'action de l'alg…bre d'Iwasawa des matrices unipotentes sup≈rieures de ${GL}_2({\mathcal{O}}_F)$ sur une repr≈sentation lisse irr≈ductible de dimension infinie de ${GL}_2(F)$.