Commentarii Mathematici Helvetici


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Volume 76, Issue 2, 2001, pp. 218–262
DOI: 10.1007/PL00000378

Published online: 2001-06-30

Structures de contact sur les variétés fibrées en cercles au-dessus d'une surface

E. Giroux[1]

(1) École Normale Supérieure de Lyon, Lyon, France

Soit V une variété fibrée en cercles au-dessus d'une surface S de genre $ g > 0 $. Cet article fournit, pour les structures de contact sur V, les analogues de résultats bien connus pour les feuilletages dûs à J. Milnor, J. Wood, W. Thurston, S. Matsumoto et É. Ghys. Dans la partie 1, on démontre que V porte une structure de contact transversale aux fibres si et seulement si le nombre d'Euler de la fibration vaut au plus 2g -- 2. Dans la partie 2, on établit le fait suivant pour toute structure de contact $ \xi $ sur V : ou bien $ \xi $ est isotope à une structure transversale aux fibres, ou bien il existe, dans un revêtement fini de V, une courbe legendrienne isotope aux fibres le long de laquelle $ \xi $ définit la même trivialisation normale que la projection sur S. Dans la partie 3, on classifie les structures de contact transversales aux fibres à isotopie et conjugaison près. Dans la partie 4, on étudie les structures de contact tendues quelconques sur V; on montre que les structures virtuellement vrillées forment un nombre fini de classes d'isotopie tandis que les classes d'isotopie des structures universellement tendues sont en bijection avec les classes d'isotopie des multi-courbes essentielles sur S.

Keywords: Fibration en cercles, nombre d'Euler, structure de contact, tendue, vrillée

Giroux E.: Structures de contact sur les variétés fibrées en cercles au-dessus d'une surface. Comment. Math. Helv. 76 (2001), 218-262. doi: 10.1007/PL00000378