Über eine bemerkenswerte Eigenschaft von Dezimalbrüchen und gewissen anderen Systembrüchen

Abstract

Eine fehlerhafte Umwandlung von 2,5 (in $\frac{2}{5})$ im Unterricht machte den Autor auf die augenfällige Darstellung $2,5=\frac{5}{2}$ aufmerksam. Gibt es im Dezimalsystem noch weitere solcher Darstellungen, wobei die (ein- oder mehrstellige) Vorkommazahl mit dem Nenner und die (ein- oder mehrstellige) Nachkommazahl mit dem Zähler des gemeinen Bruchs übereinstimmt? Der elementare, aber attraktive Weg zur (negativen) Antwort weckt Neugier auf die Situation in anderen $g$-adischen Systemen. Ohne Weiteres findet man unendlich viele $g$ mit mindestens einer Darstellung (in obigem Sinne). Schwieriger ist es zu zeigen, dass sogar unendlich viele $g$ mit mindestens zwei Darstellungen existieren, und diese explizit anzugeben.