Relèvements des algèbres lisses et de leurs morphismes

Abstract

Let $R$ be a commutative ring and let $I$ be any ideal of $R$, put $\bar{R}:=R/I$. We prove that for any smooth $\bar{R}$ -algebra $\bar{A}$ there exist a smooth $R$-algebra $A$ such that $\bar{A}$ is isomorphic to $\bar{R}{\otimes }_{R}A$ . We also show that for any morphism of smooth $\bar{R}$ -algebras $\bar{a}:\bar{A}\to \bar{B}$ , there exist a morphism of smooth $R$-algebras $a:A\to B$ such that $1\otimes a:\bar{R}\otimes A\to \bar{R}\otimes B$ is isomorphic to $\bar{a}:\bar{A}\to \bar{B}$ . As a corollary, when $R$ is noetherian, we show that for any smooth $\bar{R}$ -algebra $\bar{A}$ there exist a very smooth weakly complete algebra $A^{†}$ over $R$ such that $\bar{R}\otimes A^{†}$ is isomorphic to $\bar{A}$ .

Résumé

Soient $R$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $R$, notons $\bar{R}:=R/I$ . Nous prouvons que pour toute $\bar{R}$ -algèbre lisse $\bar{A}$ , il existe une $R$-algèbre lisse $A$ telle que $\bar{A}$ est isomorphe à $\bar{R}{\otimes }_{R}A$ . Nous prouvons également que pour tout morphisme de $\bar{R}$ -algèbres lisses $\bar{a}:\bar{A}\to \bar{B}$ , il existe un morphisme de $R$-algèbres lisses $a:A\to B$ tel que $1\otimes a:\bar{R}\otimes A\to \bar{R}\otimes B$ est isomorphe à $\bar{a}:\bar{A}\to \bar{B}$ . On en déduit, lorsque $R$ est nmthérien, que pour toute $\bar{R}$ -algèbre lisse $\bar{A}$ , il existe une $R$-algèbre faiblement complète très lisse $A^{†}$ telle que $\bar{R}\otimes A^{†}$ est isomorphe à $\bar{A}$ .